addition : c’est l’action d’ajouter en incorporant. Mais c’est aussi l’opération arithmétique qui consiste à réunir en un seul nombre toutes les unités contenues dans plusieurs autres. L’écriture additive ne contenant que des nombres et des signes + (au moins un) est encore appelée somme. Celle-ci désigne non seulement le résultat mais aussi l’écriture additive elle-même. L’addition est commutative et associative. G.Vergnaud (1993) recense deux conceptions primitives de l’addition : la réunion de deux parties en un tout (opération binaire commutative) et la transformation d’un état initial par une augmentation (opération unaire non commutative). La compréhension de l’addition doit s’inscrire dans le champ conceptuel des structures additives.

algorithme : règle ou conjonction de règles, chaîne d’opérations élémentaires comportant des régularités afin de conduire à une solution en un nombre fini d’étapes ; on forme la liste exhaustive de toutes les solutions possibles à partir des données initiales. S’il n’y a pas de solution, l’application d’un algorithme permet de montrer cette absence de solution. Il faut distinguer néanmoins les algorithmes construits par le sujet qui peuvent s’avérer être bien différents des algorithmes canoniques définis par des systèmes-experts (correspondant à des simulations du fonctionnement cognitif)

application biunivoque : application univoque dans les deux sens lorsque chaque élément d’un premier ensemble a une image et une seule dans un second ensemble, et réciproquement lorsque chaque élément du second ensemble est l’image d’un élément et d’un seul du premier ensemble.

arithmétique : science des nombres entiers et de leurs propriétés.

associativité : propriété permettant de regrouper des nombres : c’est une loi de composition dans laquelle on peut associer plusieurs facteurs et les remplacer par le résultat de l’opération partielle effectuée sur eux, sans que cela modifie le résultat final. Ainsi, l’addition est associative car, pour tout nombre a, b, c, on a :

a + (b + c) = (a + b) + c.

calcul réfléchi : calcul qui délaisse les procédures liées au comptage pour privilégier le sens par l’identification de l’opération ou de la suite d’opérations pertinentes, la décomposition et/ou la composition du calcul et le recours à des résultats mémorisés. Ce type de calcul nécessite une anticipation qui permet d’élaborer les procédures de résolution et la construction rétroactive du résultat des actions entreprises.

calcul relationnel : calcul basé sur des déductions ou inférences et sur des constructions de relation. La notion de calcul relationnel explicite celle de raisonnement qui reste un concept trop vague. Il existe deux aspects importants dans un calcul relationnel :

- pouvoir composer deux relations
- prendre la réciproque d’une relation.
Ce type de calcul s’applique aux relations binaires, ternaires et quaternaires et entretient des liens étroits dans la production des règles de conduite et des règles d’inférence. Le calcul relationnel intègre au sein de la représentation le critère d’ordre syntaxique qui permet entre autres la mobilisation des opérations mentales. Ce calcul reste fondé avant tout sur la compréhension des relations plus que sur leur extension.

cardinalité : propriété commune à tous les ensembles d’objets qui possèdent le même nombre d’éléments. Celle-ci se fonde sur la correspondance terme à terme entre les éléments de chaque ensemble (ou correspondance biunivoque).*

capacité méta-lexicale : celle-ci permet au sujet d’isoler un mot et de l’identifier comme faisant partie du lexique. L’acquisition de la lecture favorise la segmentation lexicale de la phrase écrite qui intervient en retour pour favoriser l’actualisation de cette capacité.

capacité méta-sémantique : celle-ci permet au sujet de reconnaître le système de la langue comme un code conventionnel et arbitraire, et de manipuler les mots (ou des éléments signifiants de grandeur supérieure) en les dissociant des signifiés.

capacité méta-syntaxique : celle-ci permet au sujet de raisonner sur les aspects syntaxiques du langage. Par le contrôle volontaire des règles de grammaire, elle facilite l’accès au sens dans un calcul syntaxique qui articule et complète la signification des éléments lexicaux.

chaîne numérique verbale : série ordonnée de dénominations verbales (mots-nombres) représentant la suite des nombres entiers. Les mots-nombres appartiennent à un domaine linguistique complet et simple : celui-ci comporte un lexique limité (25 mots), une syntaxe simple (décomposition selon une somme ou un produit) et une absence de toute ambiguïté sémantique

chiffre : signe graphique servant à représenter un nombre ou une partie d’un nombre : le chiffre 8 peut représenter le nombre 8 comme il participe à l’écriture d’un nombre tel 785 (désigné comme le chiffre positionnant les dizaines).

commutativité : loi de composition interne portant sur deux éléments d’un ensemble dont le résultat ne change pas si on permute la place des deux éléments. Ainsi, l’addition est commutative car, pour tous nombres a et b, on obtient : a + b = b + a (inversement, la soustraction est non commutative dans l’ensemble N des entiers naturels).

complément : cette notion définit une relation ternaire entre trois éléments ou trois mesures. Un complément logique peut se formaliser soit comme une relation entre deux classes A et A’, soit comme une opération portant sur la classe A. Des difficultés de conceptualisation montrent l’importance de comprendre cette notion à la fois en extension et en compréhension.

comprendre un problème : La difficulté d’un problème ne dépend pas du type d’opération arithmétique à effectuer. La compréhension passe par la différenciation entre les états (ce qui stable, ce que l’enfant peut se représenter mentalement) et ce qui dépend des relations entre ses états. Par exemple, il est plus facile d’évoquer les images mentales de 8 crayons que de penser la relation « avoir 3 crayons de plus que », car cela nécessite de penser deux choses à la fois : contrairement au nombre 8 appartenant à l’ensemble des entiers naturels, le nombre 3 est un nombre relatif car si Paul a 3 crayons de plus que Charles, alors Charles a 3 crayons de moins que Paul. Les enfants dyscalculiques ont beaucoup de mal à acquérir cette pensée réversible.

comptage : recours à une énumération verbale organisée en une série ordonnée de mots-nombres. L’habileté de compter nécessite l’acquisition progressive et la maîtrise de la chaîne numérique verbale. Le comptage peut toujours s’exercer « à vide », sans activité de dénombrement.

connaissances déclaratives : elles se définissent généralement en distinction des connaissances procédurales en s’inscrivant sous forme de propositions indépendantes de leur utilisation éventuelle. Elles ne comportent donc aucune prescription sur cette utilisation, contrairement aux connaissances procédurales qui sont intégrées dans une utilisation particulière. Les connaissances déclaratives traduisent aussi bien des faits, des propriétés des objets que des règles d’action. Elles présentent trois avantages :

a)   assurer une économie en mémoire de travail puisque chacune d’elles peut être utilisées à des besoins variés et déterminés
b)   permettre un apprentissage rapide puisqu’elles peuvent être modifiées sans toucher aux autres
c)   être facilement accessibles et communicables.

connaissances procédurales : une procédure se définit comme une suite organisée d’actions permettant d’atteindre le but poursuivi. Cependant, il ne faut pas confondre la procédure utilisée avec le comportement observable engendré par celle-ci. Les procédures sont généralement instanciées par des conduites multiples. Elles présentent quatre avantages :

d)   être d’emblée utilisables
e)   intégrer les propriétés des objets sur lesquels s’exercent les actions
f)   pouvoir développer des méta-connaissances, c’est à dire des connaissances produites pour sélectionner d’autres connaissances, notamment en résolution de problèmes
g)   permettre une utilisation immédiate des heuristiques.
La catégorie des connaissances procédurales se doit d’être subdivisée en sous-catégories, et en particulier ce qui relève de la sensori-motricité, de la syntaxe opératoire des actions et des opérations et des contraintes de fonctionnement du système de traitement des actions. Les connaissances procédurales se distinguent des connaissances déclaratives même si les éléments de l’un apparaissent souvent comme les précurseurs des éléments de l’autre.

décrémentation : défini comme le mécanisme inverse de l’incrémentation, avec un comptage à rebours permettant à la quantité initiale de diminuer de façon constante à chaque pas effectué.

dénombrement : action de quantification d’un ensemble donné. Quantifier, c’est répondre à la question « combien ? » : outre le comptage qui permet une quantification précise par correspondance terme à terme entre les objets et les mots-nombres, on relève la perception numérique immédiate (subitizing, ou subitisation comme l’a francisé dernièrement S. Dehaene) pour désigner un dénombrement rapide sur de petites quantités et l’évaluation globale qui quantifie rapidement mais très approximativement un ensemble d’objets.

didactique des mathématiques : discipline qui étudie les processus de transmission et d’acquisition des mathématiques, particulièrement en situation scolaire. Elle identifie les situations d’apprentissage et donne à l’enseignant un guide et des outils pour les contrôler et les réaliser. Elle permet d’autre part l’analyse des productions et l’interprétation des erreurs des apprenants.

faits arithmétiques : termes employés en neuropsychologie cognitive pour désigner les savoirs arithmétiques stockés en mémoire à long terme : il s’agit donc des connaissances déclaratives portant sur le calcul comme les tables d’addition, la connaissance des doubles, les tables de multiplication ou les formules algébriques.

habiletés : définies par la capacité d’exécuter une classe de tâches à un certain niveau d’efficacité, elles se construisent grâce à l’automatisation des composantes de l’activité. Quatre caractères peuvent être décrits :

1)   les habiletés sont apprises et acquises par la pratique d’exercices répétées
2)   elles sont constituées d’unités coordonnées en vue d’atteindre un but précis,
3)   elles sont finalisées et organisées pour arriver à ce but,
4)   elles sont adaptatives quand elles montrent une flexibilité spécifique à la tâche dans la réalisation du but de cette tâche.

heuristique : connaissance qui intervient dans l’exécution d’une tâche ; appelée parfois méta-connaissance, elle permet d’évaluer quels sont les éléments de connaissances vraisemblablement utiles parmi ceux qui sont disponibles, et comment il faut les intégrer pour élaborer une nouvelle procédure de résolution. Elle permet de choisir, entre toutes les stratégies pouvant être essayées, celle qui parait avoir le plus de chance de conduire à la solution. D’une façon générale, une heuristique consiste à fractionner un problème en sous-problèmes, à chercher la solution de ces sous-problèmes et enfin à intégrer ces solutions partielles. La notion d’heuristique s’oppose à celle d’algorithme puisqu’elle intègre la démarche de construction de stratégies. Les heuristiques sont utilisées dans l’élaboration de nouvelles procédures alors que les algorithmes génèrent les procédures en jeu dans l’exécution d’une tâche.

incrémentation : l’incrément est une quantité constante que l’on ajoute à la valeur d’une variable à chaque exécution d’une tâche ; l’incrémentation numérique est donc un accroissement constant de la quantité de départ par procédure de comptage pas à pas.

inhibition : mécanisme s’inscrivant dans le cadre théorique des processus attentionnels du contrôle exécutif, le développement de la rationalité ne pouvant se réduire à la constitution de structures nouvelles mais devant le plus souvent inhiber une structure concurrente (O.Houdé, 1995). Certaines situations constituent des situations-pièges qui nécessitent le recours à une inhibition de schèmes dits dangereux liés à des savoirs antérieurs.

invariant de relation : le concept d’invariant exprime l’idée d’une stabilité relative à un ensemble de transformations, à un ensemble de variations. G.Vergnaud l’appelle un « théorème-en-acte » pour caractériser au plus près l’activité de traitement mise en œuvre par l’enfant. Les invariants établissent des relations entre les objets et les classes d’objets : ils s’appliquent donc comme les piliers de la fonction sémiotique, en permettant le passage de la réalité à la représentation.

invariant qualitatif : il permet d’associer à un objet une valeur sur une échelle simplement catégorielle.

invariant quantitatif : il associe une valeur à un objet sur une échelle ordonnée, à savoir le rangement sériel des nombres entiers dans le système numérique à base 10.

lexique mental : dictionnaire mental interne composé de tous les mots connus auxquels sont associées les différentes informations phonologiques, orthographiques, syntaxiques et sémantiques qui leur sont attribuées. Reconnaître un mot, c’est donc en quelque sorte chercher son entrée dans un dictionnaire de langue.

ligne numérique mentale : nous nous représentons les nombres symboliques sous forme d’une continuité analogique (orientée de gauche à droite dans le monde occidental). Ainsi un effet de distance numérique intervient dans la comparaison entre deux nombres : il nous faut plus de temps pour trouver le plus grand nombre dans la paire 8-9 que dans la paire 2-9. La ligne numérique présenterait une compression croissante avec la taille des nombres car la distance subjective entre les petits nombres serait supérieure à celle qui existe entre les grands nombres : il existe de fait un effet de taille car, à distance numérique égale, deux petits nombres (comme 4 et 5) sont discriminés plus facilement que deux grands nombres (comme 54 et 55). Les enfants en difficulté d’apprentissage mathématique ne construisent que partiellement cette ligne numérique mentale, et par conséquent, n’arrivent pas à accéder à une représentation décimale logique et cohérente.

mesure : évaluation d’une grandeur en la comparant avec une autre grandeur de même espèce prise pour unité. L’activité pratique de la mesure pose les problèmes de l’intermédiaire et du mesurant (fonction des instruments de mesure), de l’approximation des quantités continues et discontinues ainsi que la composition des mesures entre elles. On relève deux propriétés importantes des mesures : pouvoir s’ordonner et pouvoir être additionnées.

multiplication : loi de composition interne qui, à chaque couple de nombres entiers naturels (a, b), associe un entier naturel, et un seul, appelé produit de a par b. La multiplication est commutative car le produit ne change pas quel que soit l’ordre des facteurs, et associative [( a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c]. Par rapport à l’addition, elle est distributive car pour tous nombres entiers a, b, c, on a : a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

nombre : le concept de nombre s’appuie sur les notions d’application, de correspondance biunivoque, de relation d’équivalence et de relation d’ordre. L’ensemble des nombres (comme cardinaux d’ensemble) se structure en un système de mesure qui facilite les comparaisons entre les ensembles. La principale caractéristique des nombres reste la possibilité de les additionner et de donner un sens à cette opération additive.

numéral : terme employé en neuropsychologie cognitive pour désigner tout symbole ou ensemble de symboles représentant un nombre. Le numéral verbal renvoie à un nombre représenté par un mot ; prononcé oralement, c’est un numéral verbal oral, et écrit en lettres alphabétiques, c’est un numéral verbal écrit. Ecrit en chiffres, on le désigne comme numéral arabe (Mc Closkey, 1992 ; Séron, 1993).

opération arithmétique : combinaison effectuée sur les nombres suivant des propriétés données et qui admet comme résultat un nombre déterminé. S’il existe quatre opérations arithmétiques en mathématiques, l’enfant doit avant acquérir les raisonnements nécessaires au choix des données pertinentes et de la bonne opération : cette compétence ne saurait être opératoire que si l’enfant en contrôle lui-même les conditions de mise en œuvre.

opérations infra-logiques : opération qui sont formatrices de la notion d’objet, par opposition aux ensembles d’objets. Elles concernent les conservations physiques (matière, poids, volume), la constitution de l’espace (droite, surface, volume) et la mesure du continu (par opposition à la mesure des objets discrets).

opération logico-mathématique : opération qui porte sur les ressemblances (classes et relations symétriques), sur les différences (sériations ou relations asymétriques) ou sur les deux à la fois (nombre) existant entre objets discrets).

opération mentale : J.Piaget définit celle-ci comme une action intériorisée ou intériorisable, réversible et coordonnée à un système d’ensemble, à une structure totale. L’opération est à la fois une modification possible du réel et une action assimilatrice dont la réversibilité atteste de son efficacité.

pensée opératoire : pensée qui consiste à la fois à effectuer des opérations conceptuelles sur les signifiés et des opérations symboliques sur les signifiants ; les signifiants forment généralement divers systèmes sémiotiques distincts qui possèdent des relations entre eux et avec le concept lui-même.

quantité : propriété de ce qui peut être mesuré ou compter ; selon J.Piaget, elle est constituée par les rapports asymétriques qui relient nécessairement entre elles les qualités quelles qu’elles soient : c’est une synthèse de la partition et du placement par égalisation des parties-unités et de la notion de sériation. Quantifier un ensemble, c’est déterminer combien d’éléments comporte cet ensemble ; pour ce faire, trois types de procédures peuvent être utilisées :

a)   la perception numérique immédiate (subitizing) qui autorise une quantification rapide et efficace sur des petits ensembles
b)   l’évaluation globale, elle aussi très rapide mais approximative sur de plus grands ensembles
c)   le comptage permettant de quantifier d’une manière très précise un ensemble donné. Néanmoins, ses conditions d’application restent une source d’erreur chez de nombreux enfants qui n’arrivent pas à coordonner les différents principes nécessaires à un dénombrement rigoureux.

quotité : conservation du nombre des éléments d’une collection (après avoir compté les éléments d’une collection similaire), tout en niant l’égalité quantitative des deux ensembles disposés différemment (P.Gréco & A.Morf, Structures numériques élémentaires, P.U.F, 1962).

relation : notion fondamentale dans la construction des connaissances pour permettre à celles-ci une organisation en systèmes. Il est important de distinguer :

Les relations binaires qui relient deux éléments entre eux (comme par exemple la gomme est sur la table ou le chien est un animal ou encore huit est plus grand que cinq).

Les relations ternaires reliant trois éléments entre eux : la gomme est entre le crayon et le stylo ou huit fait trois de plus que cinq.

Les relations quaternaires qui relient quatre éléments entre eux : Strasbourg est à l’Alsace ce que Marseille est à la Provence ou quatre sur six est égal à deux sur trois ou encore le prix de six œufs est au prix d’un œuf ce que six œufs sont à un œuf. Les relations quaternaires représentent très souvent l’analogie existant entre deux relations binaires ; les problèmes de type multiplicatif résultent dans leur ensemble de cette analyse.

relation additive : relation ternaire pouvant s’enchaîner de diverses façons pour produire des structures additives particulières. Celles-ci se différencient selon le schéma relationnel qui en découle (analyse en termes d’état, de mesure ou de transformation ; cf. G.Vergnaud, 1981).

réversibilité : inversion d’une opération directe en opération inverse. La réversibilité opératoire conduit à l’état final d’équilibre mobile atteint par les régulations perceptives, par ajustement réciproque de l’assimilation et de l’accommodation représentatives.

Situation-problème : défini par la nature de la situation dans laquelle le sujet est placé, et décrit par la procédure que l’enfant applique pour parvenir à la solution. La situation désigne l’ensemble des circonstances, données et événements qui caractérisent une ou plusieurs actions.

soustraction : définie le plus souvent comme l’opération inverse de l’addition, c’est une loi de composition interne qui n’est pas constante dans l’ensemble N : on ne peut soustraire un nombre à un autre que si le premier lui est inférieur. La soustraction est donc une opération qui, à tout couple de nombres (a, b), associe la différence (a - b) ; la différence est d’ailleurs le résultat, quand il existe, de l’opération soustractive. La conception primitive de la soustraction, vu comme la transformation d’un état initial par diminution peut cependant faire obstacle pour découvrir cette opération dans des situations non prototypiques ; la soustraction doit être pensée avant tout dans le champ conceptuel des structures additives.

stratégie : défini par J.S Bruner comme une règle ou un plan de choix des étapes dans la résolution d’une situation-problème ; ce plan établit un rapport particulier entre trois conditions :

l) obtenir un degré de certitude dans l’accès à la solution

m) estimer la vitesse d’atteinte de l’objectif

n) gérer la tension cognitive imposée par le type de planification de l’action.

Le choix de la stratégie reste fortement dépendant du type de problème à traiter et des caractères et contraintes présents dans la situation-problème. La notion de stratégie se distingue de celle d’algorithme car elle nécessite une régulation et un contrôle de l’activité.

système décimal : celui-ci comporte dix primitives lexicales, les chiffres de 1 à 9, auquel s’adjoint le 0. Ce système est dit positionnel pour signifier que la valeur d’un chiffre est déterminée par son rang dans la séquence d’un nombre (à partir de la droite pour les nombres entiers) : ainsi, lorsque le chiffre se décale de la droite vers la gauche, le chiffre augmente sa valeur d’une puissance de dix. Dans le nombre 111, le deuxième 1 a une valeur dix fois plus grande que le premier 1 (toujours à partir de la droite) et le troisième 1 une valeur cent fois plus grande : 111 se décompose ainsi : [ 1 x 102] + [ 1 x 101] + [ 1 x 100]. Le système de numération est aussi le support de la conceptualisation du nombre.

transcodage : passage d’une forme numérale présentée dans un code donnée dans la forme représentant la même quantité dans un autre code. Il n’existe qu’une et une seule forme correspondante dans le nouveau code (correspondance bi-univoque) : par exemple, 3 ->trois (numéral arabe vers un numéral verbal écrit) ou [trwa] -> 3 (d’un numéral verbal oral vers un numéral arabe).

transformation : relation dynamique qui s’établit entre des états successifs de la réalité (et non entre des états simultanés). Une ou plusieurs transformations décrivent ce qui se passe au niveau temporel.

valeur de position : pour comprendre l’écriture d’un nombre comme 1 111, il faut prendre conscience de ce que représentent ces 4 chiffres. En effet, la valeur de chaque chiffre est multipliée par 10, chaque fois que l’on se déplace vers la gauche : (1 x 1000) + (1 x 100) + (1 x 10) + (1 x 1). De plus, il ne faudra pas confondre l’emplacement du chiffre des centaines avec le nombre de centaines, car ce nombre comprend bien 11 centaines !